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Im Rahmen der zentralen Mathematik-Matura taucht immer wieder die Frage auf, warum so viele Schülerinnen und Schüler daran scheitern, das geforderte Quorum zu erreichen – obwohl doch in den absolvierten Schuljahren die „wesentlichen Themengebiete zum Großteil“ beherrscht wurden. Auch die Zentralmatura an sich wird dabei immer wieder hinterfragt.

Zentralmatura – Sinn oder Unsinn?

Der rein formale Aspekt der Matura an sich liegt darin, den Schülerinnen und Schülern einen Zugang zu allen universitären Studien zu ermöglichen – es ist also die so genannte „allgemeine Universitätsreife“. Obwohl dieser Ausdruck nur bedingt stimmt. Denn in einigen Studienfächern wurden mittlerweile Zugangsbeschränkungen in Form von Prüfungen eingeführt, während für andere Studienfächer der Besuch bestimmter Gegenstände im Rahmen der Schullaufbahn Voraussetzung ist. So ist es notwendig, dass für das Medizinstudium während der Schule das Unterrichtsfach Latein absolviert wurde, sonst muss es während des Studiums nachgeholt werden. Im Rahmen dieses Artikels möchte ich dennoch die Matura als allgemeine Universitätsreife akzeptieren.

In diesem Kontext halte ich eine zentrale Aufgabenstellung bei der Matura für absolut sinnvoll – immerhin unterscheiden die einzelnen Universitäten bei ihren Studierenden ja auch nicht dahingehend, von welcher Schule diese gekommen sind. Es lässt sich also durchaus mit Recht fordern, dass alle Personen, welche ein Studium absolvieren wollen, ein gewisses Können in naturwissenschaftlichen und sprachlichen Bereichen aufweisen sollten. Natürlich werden wohl nicht alle Voraussetzungen für jedes Studium gleich sein, dennoch ließe sich ein Konsens in Bezug auf die Anforderungen sicher finden. Wer bereits von vornherein weiß, dass dann manche dieser Kriterien für sein oder ihr Studium sicher nicht notwendig sind, der bzw. die hat dann die Möglichkeit im Rahmen einer Studienberechtigungsprüfung zu zeigen, dass die für ein bestimmtes Studium notwendigen Voraussetzungen erfüllt werden. Andererseits ist für jene Personen die allgemeine Universitätsreife wohl kein erstrebenswertes Ziel, da diese ja bereits eine eindeutig definierte Studienrichtung im Auge haben.

Darf‘s auch ein bisschen Bildung sein?

Kritische Stimmen bringen des öfteren ein, dass es nicht das Ziel einer allgemeinbildenden Höheren Schule sein kann, nur Fähigkeiten anzutrainieren, sondern – wie der Name schon sagt – den Schülerinnen und Schülern auch ein vernetztes und breites Wissen in die Hände zu geben: eben Bildung. Diesem Ansatz stimme ich vollkommen zu, möchte allerdings nochmals betonen, dass es nicht Aufgabe einer Abschlussprüfung sein kann, diese Bildung zu vermitteln sondern eigentlich der Unterricht davor.

Erreichen unsere Schülerinnen und Schüler die allgemeine Universitätsreife nicht?

In Anbetracht der Ergebnisse der zentralen Mathematik-Klausur könnte jetzt der Schluss gezogen werden, dass unsere Schülerinnen und Schüler die allgemeine Universitätsreife in Bezug auf die Mathematik in weiten Teilen nicht erreichen. Diesem Schluss möchte ich allerdings vehement widersprechen. Viel eher sehe ich die Ursache der Ergebnisse der Mathematik-Matura in der Art der Aufgabenstellungen.

Aufgabenstellungen

In den „Beurteilungsanleitungen zu den Klausuren in den standardisierten Prüfungsgebieten“ (GZ BMBF-11.012/0250-I/3/2014) heißt es zum Fach Mathematik:

Typ-1-Aufgaben: Die Kandidatinnen und Kandidaten können das im Grundkompetenzkatalog festgelegte Grundwissen und die darin taxativ aufgelisteten Grundfertigkeiten in elementaren und für die jeweilige Kompetenz typischen Anwendungssituationen einsetzen. Besondere Eigenständigkeit in der Anwendung sowie die Reflexion und Vernetzung dieser Grundkompetenzen sind dabei nicht erforderlich.

Insbesondere möchte ich den Teil „besondere Eigenständigkeit in der Anwendung sowie Reflexion … sind dabei nicht erforderlich“ hervorheben.

Aufgabe 2In diesem Beispiel sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass eigentlich eine Division durch Null stattfindet, da die Variable x als Lösung ja auch den Wert 0 annehmen kann. Durch diese Division verschwindet daraufhin eine der Lösungen. Hier wird den Schülerinnen und Schülern meiner Ansicht nach sehr wohl Reflexionswissen abverlangt.Aufgabe3Um dieses Beispiel korrekt zu lösen ist es notwendig, dass die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die (durchschnittlichen?) Treibstoffkosten wachsen, je größer der Verbrauch ist, je weiter man fährt und je teurer der Treibstoff ist. Es müssen also alle drei Variablen miteinander multipliziert werden, da sich diese direkt proportional verhalten. Zusätzlich muss der durchschnittliche Treibstoffverbrauch noch durch 100 dividiert werden, da dieser für 100 km Strecke angegeben ist, die Fahrtstrecke selber allerdings in km. Das Wort „durchschnittlich“ in der Aufgabenstellung sorgt unter Umständen nochmals für Verwirrung, da hier eigentlich kein Mittelwert gesucht ist, sonder das Wort „durchschnittlich“ hier einzig und allein daher seine Berechtigung nimmt, dass auch der Treibstoffverbrauch nur durchschnittlich angegeben wird. Ist hier keine Eigenständigkeit oder Reflexion in der Anwendung erforderlich?Aufgabe 4Hier benötigen die Schülerinnen und Schüler augenscheinlich Grundkompetenzen aus den Bereichen AG 2.3 („Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können“ – wobei hier schon zwei Variable vorkommen) und AG 2.1 („Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können“ – wobei bei einer Wurzelgleichung die Aussage „Einfach“ wohl nicht mehr zutrifft). Alternativ könnte hier auch für die Variable x die Zahl 6 oder 2 eingesetzt werden, womit das Beispiel eher zum Bereich AG 2.2 („Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können“) fallen würde. Allerdings erfordert es von den Schülerinnen und Schülern eine gewisse Eigenständigkeit in der Anwendung sowie Reflexionswissen um zu erkennen, dass sich in diesem vermeintlich quadratischen Zusammenhang eigentlich eine lineare Gleichung verbirgt.Aufgabe 8Bei dieser Aufgabe wird von den Schülerinnen und Schülern abverlangt, dass sie erkennen, dass an jenen Stellen, bei denen die Gewinnfunktion G die x-Achse schneidet der Erlös und die Kosten gleich groß sind und somit ihrerseits Schnittpunkte haben müssen. In diesem Beispiel davon zu sprechen, dass kein Reflexionswissen notwendig ist, halte ich für mutig.Aufgabe 11Aufgabe 11 erfüllt meiner Ansicht nach im Wesentlichen die Anforderungen an Typ 1 Aufgaben bezüglich Eigenständigkeit und Reflexion. Wie allerdings von einer Fachkollegin angemerkt wurde, ist hier die Formulierung durchaus missverständlich. Denn der Aussage „wächst täglich um 5 %“ fehlt die Information, wovon denn diese 5 % genommen werden sollen – vom ersten Tag, vom vorigen Tag, vom Endergebnis? Rein formal betrachtet steht das %-Symbol für den Ausdruck „Hundertstel“. Somit könnte diese Angabe auch so gelesen werden: „Der Flächeninhalt eines Ölteppichs beträgt momentan 1,5 km² und wächst täglich um 0,05.“ Zu meinem Leidwesen haben einige meiner Schülerinnen und Schüler das auch so verstanden!Aufgabe 13Die Überschrift dieser Aufgabe lautet „Mittlere Änderungsrate interpretieren“ – hier steckt das Wort Reflexion ja praktisch im Titel!Aufgabe 14Bei dieser Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler die Bedeutung der beiden Zahlen 1,03 und 5000 in dieser Formel korrekt interpretieren – meiner Meinung nach wieder eine Aufgabe aus dem Bereich der Reflexion.Aufgabe 17In dieser Aufgabe sollen die Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen Arbeit und Kraft. Laut Bifie sollen die Schülerinnen und Schüler wissen, dass die verrichtete Arbeit das Integral der Kraft ist, da das Aufsummieren der gesamt benötigten Kräfte die Arbeit widerspiegelt. Dies zählt zu zwei vom Bifie vorgegebenen physikalischen Zusammenhängen (der Zweite ist Weg-Geschwindigkeit-Beschleunigung), welche die Schülerinnen und Schüler kennen sollten. So weit so gut, allerdings ist hier lediglich die Funktion bis 4 s bekannt. Der Funktionsterm der zweiten Funktion müsste in diesem Beispiel erst ermittelt werden (was wiederum eine Vernetzung der Grundkompetenzen darstellt) oder (für jene Schülerinnen und Schüler, welche der Reflexion mächtig sind) erkannt werden, dass das Integral der Fläche unter dem Graphen entspricht und diese ein Dreieck darstellt.Aufgabe 18Die Schülerinnen und Schüler sollen zur Lösung dieses Beispiels erkennen, dass die kubische Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist und somit die Fläche, die der Graph rechts von der y-Achse mit der x-Achse einschließt genau so groß ist wie die Fläche, die der Graph links von der y-Achse mit der x-Ache einschließt. Da das Integral an sich Vorzeichenbehaftet ist, löschen sich die beiden Flächen rechts und links von der y-Achse gegenseitig aus und das bedeutet, dass die Grenzen b und c nur beide gleich weit von der y-Achse entfernt sein müssen, damit das Gesamtergebnis 0 ergibt. Auch dies ist scheinbar eine der Aufgaben, für das kein Reflexionswissen erforderlich ist?Aufgabe 22Bei Aufgabe 22 sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit für x1, x2 und x3 insgesamt 100 % beträgt. Die Wahrscheinlichkeit für x1 ist bereits bekannt mit 40 % (hier in der Form 0,4 angegeben, vgl. Aufgabe 11). Somit bleiben für x2 und x3 insgesamt 60 %, welche sich im Verhältnis 1:2 aufteilen müssen. Daher müssen x2 20 % und x3 40 % sein. Auch diese Aufgabe erfordert meiner Ansicht nach erhebliche Reflexionsfähigkeit von Seiten der Schülerinnen und Schüler.Aufgabe 23Bei dieser Aufgabe wird von den Schülerinnen und Schülern erkannt, dass es sich bei der gegebenen Formel eigentlich um eine gekürzte Berechnung aus dem Bereich der Binomialverteilung handelt. Ausgeschrieben wäre die Formel Formel_Aufgabe23 Aus dieser Schreibweise ist ersichtlich, dass von drei Kugeln zwei gezogen wurden, und zwar jene zwei, welche mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 = 80 % vorkommen. Nach kurzem Nachrechnen erkennt man, dass die zwölf schwarzen Kugeln genau 80 % der Gesamtanzahl der Kugeln ist. Bei diesem Beispiel keine Reflexionsfähigkeit vorauszusetzen halte ich für famos.Aufgabe 24In diesem Beispiel sollen die Schülerinnen und Schüler interpretieren, welcher Parameter bei der Berechnung eines Konfidenzintervalls Auswirkungen auf dessen Größe hat. Die Reflexionsfähigkeit der Schülerinnen und Schüler ist hier Voraussetzung.

Fallen

Somit könnten Schülerinnen und Schüler, welche diese mathematische Reflexionsfähigkeit nicht besitzen, immerhin noch 12 Punkte erreichen. Mit den 4 Ausgleichspunkten aus Teil 1 könnten diese Schülerinnen und Schüler immerhin noch positiv werden – Gratulation! Allerdings befinden sich in den verbleibenden 12 Aufgaben doch noch einige Fallen:Aufgabe 1Antwortmöglichkeit drei muss von den Schülerinnen und Schülern sehr genau studiert werden, denn der einzige Grund, warum diese Falsch ist, ist die Tatsache, dass hier das Wort „reell“ statt „rational“ verwendet wird. Auch bei Antwort fünf müssen die Schülerinnen und Schüler daran denken, dass ja die rationalen Zahlen in den komplexen Zahlen enthalten sind – auch wenn diese erst ab der siebten Klasse als komplex bezeichnet werden. Unter dem Druck der Matura hier auf solche Details zu achten ist für viele Schülerinnen und Schüler eine Herausforderung.Aufgabe 5Hier bitte genau auf die Beschriftung achten! Eigentlich ist folgender Vektor gesucht: v2 = v – v1 Wer sich hier auf ein ganz einfaches Beispiel gefreut hat, hat schon verloren.Aufgabe 19Bitte richten Sie hier Ihre Aufmerksamkeit auf das Wort „Flächeninhalte“. Denn es reicht nicht, wie Sie vielleicht denken könnten, zuerst eine Säule bis zu einer Höhe von 30 zu zeichnen, danach eine bis zu einer Höhe von 50 und dann zu einer Höhe von 60. Stattdessen muss bedacht werden, dass der zweite Balken ja eine Breite von zwei Kästchen hat, und somit nur halb so hoch (bis 25) zu zeichnen ist. Der dritte Balken erstreckt sich gar über drei Kästchen und ist somit nur bis zu einer Höhe von 20 zu zeichnen statt bis 60.

Anwendungsorientierung

Ein letzter Dorn in meinem Auge ist die zwanghafte Anwendungsorientierung der Beispiele. Die Mathematik, wird von vielen Seiten behauptet, ist eine Hilfswissenschaft, welche in vielen anderen Wissenschaftsbereichen notwendig ist, um fundierte Erkenntnisse zu erlangen. Dementsprechend findet die Mathematik in schätzungsweise zwei Drittel aller Studien in irgend einer Form eine Anwendung. Oft sind es statistische Methoden, welche zur Erkenntnisfindung eingesetzt werden, besonders in Naturwissenschaften, Technik, aber auch in der Wirtschaft werden häufig andere Bereiche der Mathematik benötigt. Selbst die Medizin und Pharmakologie kommen im Bereich der Arzneimittellehre nicht ohne Mathematik aus. Ich möchte allerdings die Frage in den Raum werfen, ob es für die Schülerinnen und Schüler wirklich notwendig ist, eine Kompetenz im Bereich der Anwendungsorientierung zu zeigen? Immerhin sollte es doch die Aufgabe der speziellen Ausbildungsstätten (Institute, Fakultäten) sein, die Methoden der Mathematik auf das jeweilige Fachgebiet zu reduzieren. Natürlich kann es für die Schülerinnen und Schüler motivierend sein, wenn sie erkennen, wie Mathematik angewandt werden kann um in verschiedensten Bereichen Erkenntnisse zu erlangen. Aber ist es wirklich notwendig, diesen Kontextbezug im Rahmen der allgemeinen Universitätsreife abzuprüfen? Meiner Meinung nach könnte die Mathematik hier ruhig auf die wesentlichen Fähigkeiten und Fertigkeiten reduziert werden, welche Voraussetzungen für viele Studienrichtungen darstellen, und die Auseinandersetzung mit der Implementierung bei den Universitäten zu lassen.

Komplexität

Die Pädagogik lehrt uns, dass der Unterrichtsinhalte dann gut aufgenommen werden können, wenn diese an die Lebensrealität und den Entwicklungsstand der Schülerinnen und Schüler angepasst werden. Dies stellt uns gerade im Bereich der Mathematik sowieso schon vor große Herausforderungen, weil einem Vektoren beispielsweise im Alltag doch sehr selten begegnen. Es wäre allerdings eine lustige Beobachtung, wenn einem der Informationsstand eines Supermarktes eine Wegbeschreibung zu einem bestimmten Produkt in Vektorform darbietet.

Insgesamt sollten allerdings meiner Meinung nach die Aufgabenstellungen der Matura so gestaltet werden, dass das Textverständnis nicht das ausschlaggebende Kriterium zur Lösung einer Aufgabe ist. Immerhin wollen wir ja die mathematischen Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler testen, und nicht deren Fähigkeiten einen Text sinnerfassend zu lesen. Ich habe dazu zwei Inhaltlich identische Beispiele ausgearbeitet, um die Thematik zu veranschaulichen:

Analysieren Sie mit Hilfe der Peano-Axiome die Auswirkung der linearen Abbildung vom Raum der Reellen Zahlen in den Raum der Rellen Zahlen, welche jeder Zahl deren dritten Nachfolger zuordnet, auf die Zahl 4.

beziehungsweise

4 + 3 = ?

Natürlich macht es Sinn, auch komplexe Texte im Rahmen des Unterrichts zu bearbeiten, um das Textverständnis der Schülerinnen und Schüler zu fördern. Bei einer abschließenden Prüfung aus Mathematik ist dieses Kriterium allerdings nicht wesentlich.

Fazit

Insgesamt befürworte ich eine Zentralmatura im Hinblick auf deren Zweckdienlichkeit. Ich bin allerdings auch der Meinung, dass diese dann so gestaltet sein muss, dass sie wirklich wesentliche Fähigkeiten überprüft – und derzeit schießt sie massiv über das Ziel hinaus.

Nachtrag – Technologieeinsatz

Für die Matura in zwei Jahren ist geplant, dass die Schülerinnen und Schüler ein CAS-Fähiges Gerät einsetzen. Das bedeutet, dass dieses Gerät in der Lage ist, Umformungen selbstständig durchzuführen und komplexe Berechnungen sofort durchzuführen. Interessanterweise freuen sich die Schülerinnen und Schüler immer, wenn diese ein neues technisches Hilfsmittel zur Verfügung gestellt bekommen. Doch sehen diese leider die damit verbundenen Nachteile nicht.

In der Volksschule und in den ersten zwei Jahren der Mittelstufe sind die Schülerinnen und Schüler unter Anderem dann erfolgreich, wenn diese in der Lage sind, Rechnungen fehlerfrei zu lösen. Danach wird der Taschenrechner eingeführt. Diesen müssen die Schülerinnen und Schüler beherrschen – allerdings erhalten diese für richtig gelöste Rechnungen üblicherweise keine Punkte mehr, da diese Aufgabe ja der Taschenrechner und nicht der Schüler/die Schülerin übernimmt.

Ab der dritten Klasse erhalten die Schülerinnen und Schüler ihre Punkte für richte Umformungen von Termen und Gleichungen. Ein guter Teil des Unterrichts beschäftigt sich damit, diese Fähigkeiten zu lernen. Sobald allerdings ein CAS eingeführt wird, übernimmt das CAS diese Aufgabe. Es gibt somit für die Schülerinnen und Schüler weder Punkte für richtige Rechnungen, noch für richtige Umformungen. Was bleibt denn dann noch, wofür die Schülerinnen und Schüler Punkte erhalten? Nur die Bereiche Interpretation, Analyse, Reflexion und vernetztes Denken bilden dann noch die Inhalte, die nicht von einer Maschine übernommen werden. Für Schülerinnen und Schüler, deren logisch-analytisches Denken nicht so ausgeprägt ist (allgemein bekannt als jene Schülerinnen und Schüler, die schwach im Fach Mathematik sind), stellt diese Entwicklung allerdings eine Katastrophe dar. Während es in der Vergangenheit durchaus üblich war, dass die Matura zumindest positiv abgeschlossen werden konnte, wenn Rechengänge verinnerlicht wurden, so lässt die derzeitige Entwicklung darauf schließen, dass dies zukünftig nicht mehr möglich sein wird – es zählt allein die Fähigkeit, Beispiele zu analysieren und zu reflektieren.

Leider wäre es fahrlässig, die Fähigkeiten des Umformens komplett aus dem Unterricht zu entfernen und sich nur auf die Analyse und Reflexion zu konzentrieren. Einerseits hat es nämlich nichts mit Bildung zu tun, sich blindlings auf ein Gerät zu verlassen ohne dessen Arbeitsweise zu verstehen. Andererseits ist es auf den Universitäten durchaus noch Gang und Gebe nur die einfachsten Rechenhilfsmittel zu Prüfungen zuzulassen – keine CAS-Fähigen Taschenrechner.

Post Author: Philipp Daferner